Представьте, что режете огурец на все меньшие и меньшие кусочки. Сначала разрежьте его пополам, затем разделите половину на две четверти. После этого возьмите одну из четвертей и разрежьте ее на две восьмых от целого огурца.
Возьмите одну восьмую и продолжайте резать. В конце концов — в теории — у вас получится такой маленький кусочек, что описать его не получится никаким числом, даже дробным. Это и есть бесконечно малое: то, что стремится к нулю, но нуля не достигает. Меньше только пустота. Меньше бесконечно малого лишь сам ноль. Деля на бесконечно малые единицы время, расстояние и что угодно еще, мы работаем в сфере математического анализа.
Первым это попытался сделать немецкий астроном Иоганн Кеплер. Но цель его состояла не в том, чтобы расширить наши представления о звездах. Он хотел сэкономить деньги на собственной свадьбе.
В 1613 году Кеплер женился во второй раз. Свадьба состоялась в австрийском городе Линце, и Кеплер договорился, чтобы виноторговец доставил на торжество бочку вина. Но его поразило то, каким образом торговец рассчитал стоимость бочки. Сначала он положил бочку на борт отверстием вверх. Затем он вставил в отверстие палку и протолкнул ее вниз и вбок, пока палка не соприкоснулась с местом, где борт соединяется с днищем. Стоимость вина зависела от того, какая часть палки увлажнится вином в бочке.
Кеплер уже рассчитал орбиты планет, описал различные оптические явления, нашел оптимальный способ вписывать друг в друга сферы и доказал, что снежинкам свойственна гексагональная симметрия. Он сразу понял, что можно найти и более эффективный способ определять стоимость вина. Он отметил, что в длинной узкой бочке вина гораздо меньше, но при этом увлажнить в ней можно такой же фрагмент палки. Сначала он просто вступил в спор с торговцем, но после свадьбы написал на основе этой дискуссии книгу “Новая стереометрия винных бочек”, которую опубликовал в 1615 году. В ней он делит бочки на все меньшие и меньшие круглые фрагменты, чтобы рассчитать их объем. Он описывает, как объем складывается из бесконечного числа бесконечно малых фрагментов.
Он также попытался определить оптимальную форму винной бочки — необходимые пропорции для максимизации ее объема. Он составил кубическое уравнение, показывающее, как объем бочки меняется при изменении ее длины (при неизменном диаметре), и определил, что максимальный объем получается в экстремальной точке этой кривой, когда длина составляет 2/ 3 от диаметра. Как выяснилось, почти такая пропорция и использовалась при производстве бочек в Австрии.
В этой истории — весь математический анализ. Во-первых, он позволяет понять, как меняется одна величина при изменении другой величины, связанной с ней. Это могут быть объем бочки и ее параметры, или расстояние, преодолеваемое автомобилем, скорость которого постоянно растет при разгоне из неподвижного состояния, или число людей, заболевающих при постепенном увеличении заразности вируса.
Во-вторых, он дает нам возможность находить максимальные и минимальные значения. Какая доза препарата от рака окажется наиболее действенной? Какой объем топлива дает “Боингу-747” максимальную дальность полета, учитывая, что он расходует топливо на лету, но требует больше топлива на милю, когда его масса больше? Работа Кеплера о винных бочках, как правило, считается предтечей математического анализа, но и сегодня не утихают споры о том, кто изобрел его на самом деле. Дело в том, что во второй половине XVII века долгий и ожесточенный диспут Исаака Ньютона и немецкого ученого-энциклопедиста Готфрида Лейбница так и не пришел к удовлетворительному разрешению.
Впрочем, ни один из этих ученых не начинал с нуля. Даже если не брать в расчет работу Кеплера о винных бочках, в первой половине века Пьер Ферма занимался вычислением площадей под кривыми и находил максимумы и минимумы этих кривых. Как мы увидим, это неотъемлемые компоненты математического анализа, и сам Ньютон утверждал, что пришел к его ранней форме “от предложенного Ферма способа построения касательных”. Рене Декарт, услышав это, перевернулся бы в могиле, ведь он сам провел подобную работу и долго спорил с Ферма о том, кто все‑таки был первым. Но итальянский математик Бонавентура Кавальери также работал с бесконечно малыми величинами, закладывая фундамент для трудов Лейбница и Ньютона, и тем же занимался английский ученый Джон Валлис, который обобщил свои выводы в книге “Арифметика бесконечного”, опубликованной в 1656 году. Иными словами, Лейбниц и Ньютон превзошли на этом поприще прочих, но сами при этом отталкивались от работ множества других ученых.
(отрывок из книги Майкла Брукса “Искусство большего. Как математика создала цивилизацию” / пер. с англ.: Заур Мамедьяров; научный редактор Константин Кноп; редактор Максим Череповский, длинный список премии «Просветитель.Перевод» 2024)